4. Некоторые современные парадоксы

Самое серьезное воздействие не только на логику, но и на математику оказал парадокс, обнаруженный английским логиком и философом прошлого века Б. Расселом.

Рассел придумал такой популярный вариант своего парадокса — «парадокс парикмахера». Допустим, что совет какой-то деревни так определил обязанности деревенского парикмахера: брить всех мужчин, которые не бреются сами, и только этих мужчин. Должен ли он брить самого себя? Если да, то он будет относиться к тем, кто бреется сам; но тех, кто бреется сам, он не должен брить. Если нет, он будет принадлежать к тем, кто не бреется сам, и, значит, он должен будет брить себя. Мы приходим, таким образом, к заключению, что этот парикмахер бреет себя в том и только том, случае, когда он не бреет себя. Это, разумеется, невозможно.

В исходной версии парадокс Рассела касается множеств, т. е. совокупностей, в чем-то сходных друг с другом объектов. Относительно произвольного множества можно задать вопрос: является оно своим собственным элементом или нет? Так, множество лошадей не есть лошадь и потому оно не собственный элемент. Но множество идей есть идея и содержит само себя; каталог каталогов — это опять-таки каталог. Множество всех множеств также есть собственный элемент, поскольку оно — множество. Разделив все множества на те, которые являются собственными элементами, и те, которые не таковы, можно спросить: множество всех множеств, не являющихся собственными элементами, содержит себя в качестве элемента или нет? Ответ, однако, оказывается обескураживающим: это множество есть свой элемент только в том случае, когда оно не является таким элементом.

Данное рассуждение опирается на допущение, что есть множество всех множеств, не являющихся собственными элементами. Полученное из этого допущения противоречие означает, что такое множество не может существовать. Но почему столь простое и ясное множество невозможно? В чем заключается различие между возможными и невозможными множествами?

На эти вопросы исследователи отвечают по-разному. Открытие парадокса Рассела и других парадоксов математической теории множеств привело к решительному пересмотру ее оснований. Оно послужило, в частности, стимулом для исключения из ее рассмотрения «слишком больших множеств», подобных множеству всех множеств, для ограничения правил оперирования с множествами и т. д. Несмотря на большое число предложенных к настоящему времени способов устранения парадоксов из теории множеств, полного согласия в вопросе о причинах их возникновения пока нет. Нет соответственно и единого, не вызывающего возражений способа предупреждать их появление.

Приведенное выше рассуждение о парикмахере опирается на допущение, что такой парикмахер существует. Полученное противоречие означает, что это допущение ложно, и нет такого жителя деревни, который брил бы всех тех и только тех ее жителей, которые не бреются сами.

Обязанности парикмахера не кажутся на первый взгляд противоречивыми, поэтому вывод, что его не может быть, звучит несколько неожиданно. Но этот вывод не является все-таки парадоксальным. Условие, которому должен удовлетворять «деревенский брадобрей», на самом деле внутренне противоречиво и, следовательно, невыполнимо. Подобного парикмахера не может быть в деревне по той же причине, по какой в ней нет человека, который был бы старше самого себя или который родился бы до своего рождения.

Рассуждение о парикмахере может быть названо «псевдопарадоксом». По своему ходу оно строго аналогично парадоксу Рассела и этим интересно. Но оно все-таки не является подлинным парадоксом.


— AD —

Каталог библиографических каталогов

Другой пример такого же псевдопарадокса представляет собой известное рассуждение о каталоге.

Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылки на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?

Нетрудно показать, что идея создания такого каталога неосуществима: он просто не может существовать, поскольку должен одновременно и включать ссылку на себя и не включать.

Интересно отметить, что составление каталога всех каталогов, не содержащих ссылки на самих себя, можно представить как бесконечный, никогда не завершающийся процесс.

Допустим, что в какой то момент был составлен каталог, скажем K1, включающий все отличные от него каталоги, не содержащие ссылки на себя. С созданием K1 появился еще один каталог, не содержащий ссылки на себя. Так как задача заключается в том, чтобы составить полный каталог всех каталогов, не упоминающих себя, то очевидно, что K1 не является ее решением. Он не упоминает один из таких каталогов — самого себя. Включив в K1 это упоминание о нем самом, получим каталог К2. В нем упоминается K1, но не сам К2. Добавив к К2 такое упоминание, получим K3, который опять-таки неполон из-за того, что не упоминает самого себя. И так далее без конца.

Парадоксы Греллинга и Берри

Интересный логический парадокс был открыт немецкими логиками К. Греллингом и Л. Нельсоном («парадокс Греллинга»). Этот парадокс можно сформулировать очень просто.

Некоторые слова, обозначающие свойства, обладают тем самым свойством, которое они называют. Например, прилагательное «русское» само является русским, «многосложное» — само многосложное, а «пятислоговое» само имеет пять слогов. Такие слова, относящиеся к самим себе, называются «самозначными», или «аутологическими». Подобных слов не так много, в подавляющем большинстве прилагательные не обладают называемым ими свойством. «Новое» не является, конечно, новым, «горячее» — горячим, «однослоговое» — состоящим из одного слога, «английское» — английским. Слова, не имеющие свойства, обозначаемого ими, называются «инозначными», или «гетерологическими». Очевидно, что все прилагательные, обозначающие свойства, неприложимые к словам, будут гетерологическими.

Это разделение прилагательных на две группы кажется ясным и не вызывает возражений. Оно может быть распространено и на существительные: «слово» является словом, «существительное» — существительным, но «часы» — это не часы и «глагол» — не глагол.

Парадокс возникает, как только задается вопрос: к какой из двух групп относится само прилагательное «гетерологическое»? Если оно аутологическое, оно обладает обозначаемым им свойством и должно быть гетерологическим. Если же оно гетерологическое, оно не имеет называемого им свойства и должно быть поэтому аутологическим. Налицо парадокс.

Оказалось, что парадокс Греллинга был известен еще в средние века как антиномия выражения, не называющего самого себя.

Еще одна, внешне простая антиномия была указана в самом начале прошлого века Д. Берри.

Множество натуральных чисел бесконечно. Множество же тех имен этих чисел, которые имеются, например, в русском языке и содержат меньше чем, допустим, сто слов, является конечным. Это означает, что существуют такие натуральные числа, для которых в русском языке нет имен, состоящих менее чем из ста слов. Среди этих чисел есть, очевидно, наименьшее число. Его нельзя назвать посредством русского выражения, содержащего менее ста слов. Но выражение: «Наименьшее натуральное число, для которого не существует в русском языке его сложное имя, слагающееся менее чем из ста слов», является как раз именем этого числа! Это имя только что сформулировано в русском языке и содержит только девятнадцать слов. Очевидный парадокс: названным оказалось то число, для которого нет имени!

Похожие книги из библиотеки

Будущее медицины: Ваше здоровье в ваших руках

Мир медицины проходит в наши дни революционную трансформацию. Цифровой мониторинг информационных потоков, повсеместное распространение компьютеров, новейшие молекулярные и генетические разработки, направленные на предотвращение болезней, всевозможные медицинские датчики, исследования и анализы, а главное – доступ к данным о собственном здоровье – в корне меняют систему здравоохранения. Известный врач, ученый, первопроходец передовых технологий в медицине Эрик Тополь считает, что традиционная субординация в отношениях врача и пациента уходит в прошлое, человек сам становится хозяином своего здоровья, и неизбежная демократизация медицины обещает нам ее эффективность и доступность.

Что со мной, доктор? Вся правда о щитовидной железе

Секреты щитовидной железы – это уже 10-я книга в серии «Академия доктора Родионова». Врач-эндокринолог с 30-летним стажем Ольга Демичева легко и понятно рассказывает о том, что такое щитовидная железа, какова ее функция в организме человека и какой может быть дисфункция. Она убедительно доказывает, что ничего страшного в лечении гормонами нет, а вот отсутствие внимания к проблемам «бабочки» может стать причиной серьезных последствий.

Как избавиться от боков, «ушей» и «галифе»

Благодаря нашумевшей книге Марины Корпан «Как убрать живот» многие российские читатели уже смогли справиться с проблемой лишнего объема в области талии за конкретный промежуток времени – 14 дней. На этот раз Марина Корпан, дипломированный специалист по дыхательным методикам, поможет справиться с еще одной дамской бедой, а точнее, с двумя – «галифе» и целлюлитом. Теперь не понадобятся такие жертвы, как диеты и многочасовые тренировки в спортзале! Мотивирующие истории похудения, техника дыхания Бодифлекс и Оксисайз, красочные и понятные изображения упражнений помогут вам получить максимальный результат за минимум потраченных усилий, времени и денег. Всего 6 несложных упражнений по Бодифлексу помогут вам избавиться от лишних объемов в бедрах за первые 7 дней, а 5 упражнений по Оксисайзу подкачают мышцы, подтянут кожу и уменьшат целлюлит за оставшиеся 7 дней! Дышите и становитесь обладательницей Совершенных бедер всего за 20 минут в день!

Лечение радикулита и ревматизма народными средствами

Проверенные веками средства народной медицины эффективны при лечении самых разных заболеваний! Рецепты целебных отваров и настоев для внутреннего и наружного применения, растираний, примочек, масел и мазей на растительной основе и с использованием продуктов пчеловодства избавят вас от многих недугов. Безопасные натуральные ингредиенты, возможность домашнего лечения, специально подобранные упражнения и лечебные процедуры – залог будущего выздоровления. – Простые способы приготовления лечебных настоек, отваров и мазей – Рецепты диетических блюд – Лечебная гимнастика – Массаж и самомассаж – Советы по профилактике Уделите себе совсем немного времени ежедневно и оставайтесь здоровыми на долгие годы!