2. Прямое и косвенное доказательство

Немецкий философ А. Шопенгауэр считал математику довольно интересной наукой, но не имеющей никаких приложений, в том числе и в физике. Он даже отвергал саму технику строгих математических доказательств. Шопенгауэр называл их мышеловками и приводил в качестве примера доказательство известной теоремы Пифагора. Оно является, конечно, точным: никто не может счесть его ложным. Но оно представляет собой совершенно искусственный способ рассуждения. Каждый шаг его убедителен, однако к концу доказательства возникает чувство, что вы попали в мышеловку. Математик вынуждает вас допустить справедливость теоремы, но вы не получаете никакого реального ее понимания. Это все равно, как если бы вас провели через лабиринт. В конце концов вы выходите из лабиринта и говорите себе: «Да, я вышел, но не знаю, как здесь очутился».

Позиция Шопенгауэра, конечно, курьез, но в ней есть момент, заслуживающий внимания. Нужно уметь проследить каждый шаг доказательства, иначе его части лишатся связи, и оно может рассыпаться, как карточный домик. Но не менее важно понять доказательство в целом как единую конструкцию, каждая часть которой необходима на своем месте. Как раз такого целостного понимания не хватало, по все вероятности, Шопенгауэру. В итоге в общем-то простое доказательство представилось ему блужданиями в лабиринте: каждый шаг пути ясен, но общая линия движения покрыта мраком.

Доказательство, не понятое как целое, ни в чем не убеждает. Даже если выучить его наизусть предложение за предложением, к имеющемуся знанию предмета это ничего не прибавит. Следить за доказательством и лишь убеждаться в правильности каждого его последующего шага — это равносильно такому наблюдению за игрой в шахматы, когда замечаешь только то, что каждый ход делается по правилам игры.

Все доказательства делятся по своей структуре, по общему ходу мысли на прямые и косвенные.

При прямых доказательствах задача состоит в том, чтобы найти убедительные аргументы, из которых логически вытекает тезис.

Косвенное доказательство устанавливает справедливость тезиса тем, что вскрывает ошибочность противоположного ему допущения, антитезиса.

Например, нужно доказать, что астероиды подчиняются действию законов небесной механики. Известно, что эти законы универсальны: они распространяются на все тела в любых точках космического пространства. Отметив это, строим умозаключение: «Все космические тела подпадают под действие законов небесной механики; астероиды — космические тела; значит, астероиды подчиняются данным законам». Это прямое доказательство, осуществляемое в два шага: подыскиваются подходящие аргументы и затем демонстрируется, что из них логически вытекает тезис.

В косвенном доказательстве рассуждение идет как бы окольным путем. Вместо того чтобы отыскивать аргументы для выведения из них доказываемого положения, формулируется антитезис, отрицание этого положения. Далее тем или иным способом показывается несостоятельность антитезиса. По закону исключенного третьего, если одно из противоречащих друг другу утверждений ошибочно, второе должно быть верным. Антитезис ошибочен, значит, тезис является верным. Поскольку косвенное доказательство использует отрицание доказываемого положения, оно является, как говорят, доказательством от противного. Как с иронией замечает математик Д. Пойа, косвенное доказательство имеет некоторое сходство с надувательским приемом политикана, поддерживающего своего кандидата тем, что опорочивает репутацию кандидата другой партии.

К примеру, врач, убеждая пациента, что тот не болен гриппом, говорит ему, что если бы действительно был грипп, имелись бы характерные для него симптомы: головная боль, повышенная температура и т. п.; но ничего подобного нет; значит, нет и гриппа. Это — косвенное доказательство. Вместо прямого обоснования тезиса «У пациента нет гриппа» выдвигается антитезис «У пациента грипп». Из антитезиса выводятся следствия, но они опровергаются объективными данными. Отсюда следует, что тезис «Гриппа нет» истинен.

Другой пример. Оценивая чье-то выступление, мы можем рассуждать так. Если бы выступление было скучным, оно не вызвало бы стольких вопросов и острой, содержательной дискуссии. Но оно вызвало вопросы и дискуссию. Значит, выступление было интересным. Здесь вместо поиска аргументов в поддержку тезиса «Выступление было интересным» выдвигается антитезис «Выступление не являлось интересным». Затем выводятся следствия из него, но они не подтверждаются реальной ситуацией. Значит допущение о неудаче выступления неверно, а тезис об интересном выступлении истинен.

В зависимости от того, как показывается ложность антитезиса, выделяются различные варианты косвенного доказательства.

Чаще всего ложность антитезиса удается установить простым сопоставлением вытекающих из него следствий с фактами, опытными данными. Так обстояло, в частности, дело в рассуждениях, касающихся гриппа и выступления, вызвавшего вопросы и дискуссию.

По логическому закону противоречия одно из двух противоречащих друг другу утверждений ложно. Поэтому, если в числе следствий антитезиса встретились и утверждение, и отрицание одного и того же, можно сразу сказать, что это положение ложно.

К примеру, положение «Квадрат — это окружность» ложно, поскольку из него выводится и то, что квадрат имеет углы, и то, что у него нет углов.

Имеется еще одна разновидность косвенного доказательства, когда прямо не приходится искать ложные следствия. Дело в том, что согласно законам логики для доказательства утверждения достаточно показать, что оно логически вытекает из своего собственного отрицания.

Такую схему использовал однажды древнегреческий философ Демокрит (он, как известно, первым предположил, что все тела состоят из атомов) в споре с философом Протагором. Последний утверждал, что истинно все, что кому-либо приходит в голову, или «Всякое мнение истинно». На это Демокрит ответил, что из данного утверждения вытекает также истинность его отрицания, «Не каждое мнение истинно», поскольку само это отрицание тоже является мнением. И значит, данное отрицание, а не положение Протагора, на самом деле верно.

Для косвенного доказательства утверждения достаточно также показать, что оно логически вытекает из своего собственного отрицания.

В романе И. С. Тургенева «Рудин» есть такой диалог: «— Стало быть, по-вашему, убеждений нет? — Нет — и не существует. — Это ваше убеждение? — Да. — Как же вы говорите, что их нет? Вот вам уже одно на первый случай». Здесь ошибочному мнению, что никаких убеждений нет, противопоставляется его отрицание: существует, по крайней мере, одно убеждение, а именно убеждение, что убеждений нет. Коль скоро утверждение «Убеждения существуют» вытекает из своего собственного отрицания, это утверждение, а не его отрицание является истинным и доказанным.

В рассмотренных косвенных доказательствах выдвигаются две альтернативы: тезис и антитезис. Затем показывается ложность последнего, в итоге остается только тезис. Можно не ограничивать число принимаемых во внимание возможностей только двумя. Это приведет к так называемому разделительному косвенному доказательству, или к доказательству через исключение. Оно применяется в тех случаях, когда известно, что доказываемый тезис входит в число альтернатив, полностью исчерпывающих все возможные альтернативы данной области.

Например, нужно доказать, что одна величина равна другой. Ясно, что возможны только три варианта: или две величины равны, или первая больше второй, или, наконец, вторая больше первой. Если удалось показать, что ни одна из величин не превосходит другую, два варианта будут отброшены и останется только третий: величины равны. Доказательство идет по простой схеме: одна за другой исключаются все возможности, кроме одной, которая и является доказываемым тезисом.

В разделительном доказательстве взаимная несовместимость возможностей и то, что ими исчерпываются все мыслимые альтернативы, определяется не логическими, а фактическими обстоятельствами. Отсюда обычная ошибка разделительных доказательств: рассматриваются не все возможности.

Похожие книги из библиотеки

Йога. 7 духовных законов. Как исцелить свое тело, разум и дух

В этой книге знаменитый духовный лидер современности и автор десятков бестселлеров Дипак Чопра и его единомышленник, врач-невропатолог Дэвид Саймон, рассказывают о семи духовных законах йоги – глубоком смысле древней практики, способном привести вас к счастливой, гармоничной и полноценной жизни. Все мы знаем о том, как полезна йога: она дарит нам гибкость, мышечный тонус, выносливость, гармонию с самим собой и жизненную силу. Но все это – лишь часть удивительной силы, которой обладает эта духовная практика. Медитация, мантры, дыхательные упражнения и последовательности поз способны не только укрепить ваше здоровье, но и полностью преобразить вашу жизнь. Эта книга позволит вам заниматься йогой вдумчиво и осознанно, чтобы раскрыть свой творческий потенциал, научиться любить, сострадать и добиваться успеха во всем, чем бы вы ни занимались.

Военно-полевая терапия

Практикум предназначен для рациональной организации самостоятельной подготовки студентов и курсантов к практическим занятиям по военно–полевой терапии. В нем кратко изложены вопросы патогенеза, клиники и этапного лечения поражений, относящихся к боевой терапевтической патологии, а также висцеральной патологии военного времени, некоторых военно–профессиональных заболеваний, наиболее часто встречающихся в мирное время. Изложены вопросы реабилитации и военно–врачебной экспертизы. Приведены вопросы для тестового контроля усвоения материала и ситуационные задачи. Практикум написан в соответствии с типовыми учебными программами дисциплины и органично дополняет учебник, утвержденный Министерством образования Республики Беларусь для студентов и курсантов высших учебных заведений по медицинским специальностям. Практикум предназначен для студентов и курсантов медицинских вузов республики. Будет также полезен преподавателям военно–полевой терапии.

Артерии и вены. Советы и рекомендации ведущих врачей

Сосудистые нарушения – причина многих болезней. То, почему тот или иной орган оказывается уязвимым, часто можно объяснить механическими причинами. Закрывается просвет сосуда, который идет к тому или иному органу Сердце, кишечник, поджелудочная железа, печень и все другие органы получают кровь через сосуды. Из-за воздействия вредных факторов сосуды могут поражаться. Как избежать заболеваний и грозных осложнений, связанных с поражением сосудов? Как их сегодня лечат? Можно ли избавиться от проблемы навсегда? На эти вопросы читатель найдет ответы в данной книге. Внимание! Информация, содержащаяся в книге, не может служить заменой консультации врача. Необходимо проконсультироваться со специалистом перед совершением любых рекомендуемых действий.

Год, прожитый правильно

Каждый понедельник даете себе обещание «никакого сладкого, ежедневные утренние пробежки и два литра воды в день», а потом срываетесь к среде? Так, может быть, не стоит взваливать на себя все и сразу и пытаться изменить устоявшийся образ жизни за несколько дней? Секрет успешных перемен — это признание и принятие того, что на них требуется время и терпение. Это подтверждает 20-летний опыт автора этой книги, Бретт Блюменталь. Она предлагает программу 52 маленьких перемен (от питания до физических нагрузок и отношения к окружающему миру), рассчитанную на целый год, которая в конечном итоге приведет вас к здоровому (и счастливому) образу жизни. Одна небольшая перемена в неделю — не так уж и много, подумаете вы. И будете правы. Но в конце они все сложатся в новую картину вашей жизни, которая не рассыплется на кусочки с началом следующего года. Приступайте! В книге не хватает нескольких таблиц в разделе «Инструменты и ресурсы».