6. Доказательство как вычисление

Еще в ХVII в. Г. Лейбниц высказал идею представить логическое доказательство как «игру со знаками». Эта «игра» должна осуществляться по простым правилам, напоминающим правила вычисления в математике и принимающим во внимание только внешний вид знаков. Лейбниц верил, что если это удастся, наступит золотой век, когда с помощью новой логики самые сложные и отвлеченные проблемы будут «вычисляться» так же легко, как в математике вычисляется сумма чисел. Эта программа формализовать доказательство и тем самым перестроить логику по образцу математики намного опережала свое время и начала реализовываться только двести лет спустя.

Строя доказательства, мы опираемся на интуитивную логику и постоянно обращаемся к содержательному значению используемых понятий, их смыслу. Но смысл — трудноуловимая вещь. Нередко он расплывчат и неопределенен, может истолковываться по-разному и меняться в ходе рассуждения. Чтобы сделать доказательство предельно строгим, нужно свести оперирование смыслами, недоступными наблюдению, к действиям над вещественными, хорошо обозримыми объектами. Для этого требуется выявить все используемые нами принципы интуитивной логики и представить их в виде простых правил преобразования последовательностей знаков, записанных на бумаге. Рассуждение превратится при этом в предметные действия над цепочками знаков.

Метод формализации доказательства состоит в построении исчисления, в котором содержательным рассуждениям соответствуют чисто формальные преобразования. Они осуществляются на основании системы чисто формальных (принимающих во внимание лишь внешний вид знаков) правил, а не смыслового содержания входящих в рассуждение утверждений. Полная формализация теории имеет место тогда, когда совершенно отвлекаются от содержательного смысла исходных понятий и положений теории и перечисляют все правила логического вывода, используемые в доказательствах. Такая формализация включает в себя три момента: обозначение исходных, неопределяемых терминов; перечисление принимаемых без доказательства формул (аксиом); введение правил преобразования этих формул для получения из них новых формул (теорем). В формализованной теории доказательство не требует обращения к каким-либо интуитивным представлениям. Оно является последовательностью формул, каждая из которых либо есть аксиома, либо получается из аксиом по правилам вывода. Проверка такого доказательства превращается в механическую процедуру и может быть передана вычислительной машине.

Одно время на формализованные доказательства возлагались большие надежды. Предполагалось, что удастся формализовать математические доказательства и затем доказать непротиворечивость математики. Эта программа называлась «формализмом» и противопоставлялась как попыткам свести математику к логике (логицизм), так и намерению опереть математику на особую наглядно-содержательную интуицию (интуиционизм). Предложенная формализмом программа обоснования математики оказалась, однако, утопией. Достаточно богатая содержательная теория (охватывающая хотя бы арифметику натуральных чисел) не может быть полностью отображена в ее формализованной версии: как бы ни пополнялась последняя дополнительными утверждениями (новыми аксиомами), в теории всегда останется не выявленный, неформализованный остаток. Но об этом речь пойдет далее.

Похожие книги из библиотеки

Лечение и чистка суставов. Классические и нетрадиционные методы

Современный человек двигается гораздо меньше, чем того требует его природа, часто не обращает внимания на качество продуктов, питается кое-как, нервничает, не высыпается. В результате уже в довольно молодом возрасте многие сталкиваются с болезнями суставов. А между тем даже в старости можно избежать этих болезней. Чтобы сохранить здоровье, вернуть подвижность, забыть о боли, требуется всего лишь задуматься о проблеме, изучить строение суставов, узнать, как правильно поднимать тяжести, сидеть, стоять, ходить и спать, как нужно питаться, какие упражнения выполнять. Эта книга ознакомит вас с симптомами болезней суставов различной природы – артрозов и артритов, расскажет о том, как можно справиться с болями и отеками, вернуть суставам подвижность, вылечиться. Вы узнаете о традиционных и народных методах лечения суставных заболеваний, научитесь правильно делать массаж, выполнять физиотерапевтические и водные процедуры, а также чистить суставы и весь организм.

Аденоиды без операции

Вы только что узнали, что вашего ребенка надо оперировать, и не находите себе места? Не отчаивайтесь, благодаря этой книге вы получите базовые знания о том, что же такое аденоиды, и узнаете природу их возникновения. Кроме того, в книге подробно описаны все возможные варианты и современные методы лечения, исключающие оперативное вмешательство. Прежде чем бездумно выполнять предписание врача, прочитайте книгу и, уже владея всей необходимой информацией, подумайте, так ли необходимо в вашем случае оперироваться.

Секреты гирудотерапии

Настоящее издание является универсальным сборником медицинских советов по применению в лечебных целях пиявок. Подробно и увлекательно в нем рассказывается об истории гирудотерапии, о малоизвестных методах и особенностях этого древнего вида лечения, польза от которого несомненна. Благодаря этому сборнику читатель сможет овладеть приемами данного вида лечения достаточно хорошо для того, чтобы самостоятельно проводить сеансы по рекомендации врача. Книга рассчитана на широкий круг читателей.

Азбука здоровья. Все о позвоночнике и суставах от А до Я

Новая книга самого известного врача Сергея Михайловича Бубновского посвящена расследованию причин самых разнообразных заболеваний: бронхиальной астмы, ревматоидного артрита, головной боли, бессонницы, артрита, артроза, болезни Пертеса, плоскостопия, остеохондроза, межпозвонковой грыжи, сколиоза и др. Для удобства читателя материал подобран в алфавитном порядке, что позволит легко найти интересующую тему в оглавлении. Автор, известный своим неприятием лекарственной медицины, приводит иной подход к лечению этих заболеваний без использования таблеток, только естественная медицина, направленная на активизацию собственных ресурсов организма человека. В книге вы найдете рекомендации по питанию, закаливанию, питьевому режиму, а также конкретные рецепты для лечения описанных заболеваний. В качестве вспомогательной терапии доктор Бубновский предлагает обратить внимание на траволечение, особенно на правила сбора и хранения лечебных трав, корней, коры. Это достаточно эксклюзивная информация, практически не публикуемая травниками. Данное издание очень поможет тем, кто все-таки хочет вырваться из пут болезни!